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♦
Pour démontrer par récurrence la propriété P(n) où n est un entier naturel, on procède en 3 étapes:
1°)
2°)
3°) Conclusion
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♦ les 4 techniques pour étudier les variations d'une suite: cours en vidéo
Exercices 13: Démontrer par
récurrence
que ... est divisible - multiple
Exercices 14: Démontrer par
récurrence
que ... est divisible - multiple
Exercices 19: Démontrer par
récurrenceLunettes Mutualistes De Lunettes Opticiens SoleilLes qSzUpVM
- nombre de segments avec n points sur un cercle
Exercices 20: Démontrer par
récurrence
- somme des angles dans un polygone
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Raisonnement par récurrence
- Conseils pour ce chapitre:
- Commencer par regarder pour comprendre le raisonnement par récurrence
- Faire les exercices dans l'ordre
-
Pas
de
Lunettes Mutualistes De Lunettes Opticiens SoleilLes qSzUpVM
panique
le raisonnement par récurrence est
un nouveau mode de raisonnement.
Il nécessite donc du temps pour être maitrisé.
ça tombe bien, on le retrouve dans tous les chapitres. -
Connaitre les erreurs à ne pas faire
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1) Oublier de faire l'initialisation
2) Surtout ne pas écrire dans l'hérédité:
"Supposons que pour tout entier naturel $n$, P(n) est vraie"
- Comment travailler efficacement
- Conseils pour le jour du bac
♦
Raisonnement par récurrence
: regarde le cours en vidéoPour démontrer par récurrence la propriété P(n) où n est un entier naturel, on procède en 3 étapes:
1°)
Initialisation
On vérifie que
P(n)
est
vraie
pour
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une
certaine
valeur de
n
, appelée
n0
.
On choisit pour n0 , la plus petite valeur de n possible.
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On choisit pour n0 , la plus petite valeur de n possible.
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La plupart du temps, on vérifie que
P(0),
P(1)
ou
P(2)
est vraie.
Si vous oubliez l'initialisation, vous n'avez rien démontré, voir cet exemple
Si vous oubliez l'initialisation, vous n'avez rien démontré, voir cet exemple
2°)
Hérédité
On
suppose
que
P(n)
est
vraie
pour
un
entier
n≥n0
.
On démontre que cela entraine que P(n+1) est vraie.
On rédige de la façon suivante:
Soit un entier $n\ge n_0$. Supposons P(n) vraie et montrons que P(n+1)
C'est l'hypothèse de récurrence.
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On démontre que cela entraine que P(n+1) est vraie.
On rédige de la façon suivante:
Soit un entier $n\ge n_0$. Supposons P(n) vraie et montrons que P(n+1)
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est vraie.
Surtout ne pas écrire:
Supposons que pour tout entier naturel $n$, P(n) est vraie
Car si on suppose la propriété vraie pour tout $n$,
il n'y a donc rien à démontrer!
Le raisonnement par récurrence consiste
à supposer qu'une propriété est vraie pour une valeur de $n$
et de montrer que ça entraine que
la propriété est encore vraie au rang $n+1$.
Supposons que pour tout entier naturel $n$, P(n) est vraie
Car si on suppose la propriété vraie pour tout $n$,
il n'y a donc rien à démontrer!
Le raisonnement par récurrence consiste
à supposer qu'une propriété est vraie pour une valeur de $n$
et de montrer que ça entraine que
la propriété est encore vraie au rang $n+1$.
3°) Conclusion
On rédige la conclusion toujours de la même façon:
Comme P(n0) est vraie et P(n) est héréditaire pour tout entier n≥n0 ,
Donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier n≥n0 .
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Comme P(n0) est vraie et P(n) est héréditaire pour tout entier n≥n0 ,
Donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier n≥n0 .
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Récurrence: une nouvelle technique pour étudier les variations d'une suite
-
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Méthode générale
1) Calculer $u_{n+1}-u_n$
2) Etudier le signe $u_{n+1}-u_n$ (penser à factoriser puis à faire un tableau de signe)
Si à partir d'un certain rang, $u_{n+1}-u_n\ge 0$, alors $(u_n)$ est croissante à partir de ce rang.
Si à partir d'un certain rang, $u_{n+1}-u_n\le 0$, alors $(u_n)$ est décroissante à partir de ce rang.
-
Si $u_n=f(n)$
Etudier les variations de la fonction $f$. (Penser à utiliser la dérivation)
Si $f$ est croissante sur $[p;+\infty[$ alors $(u_n)$ est croissante pour $n\ge p$.
Si $f$ est décroissante sur $[p;+\infty[$ alors $(u_n)$ est décroissante pour $n\ge p$.
-
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S'il y a des fractions ou des puissances et que la suite est strictement positive
Objectif: savoir si \[\frac{u_{n+1}}{u_n}\] est plus grand ou plus petit que 1.
Calculer \[\frac{u_{n+1}}{u_n}-1\]. Si à partir d'un certain rang:
\[\frac{u_{n+1}}{u_n}-1\gt 0\] alors $(u_n)$ est croissante à partir de ce rang.
\[\frac{u_{n+1}}{u_n}-1\lt 0\] alors $(u_n)$ est décroissante à partir de ce rang.
-
Faire un raisonnement par récurrence
1) Calculer les premiers termes pour avoir une idée des variations.
2) Si on veut montrer que la suite est:
croissante, poser $P(n): u_n\le u_{n+1}$
décroissante, poser $P(n): u_n\ge u_{n+1}$
3) Démontrer la propriété $P(n)$ par récurrence.
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Cas particulier très important:
$u_{n+1}=f(u_n)$1) Etudier les varations de $f$Michael 3162 Tortoise Pink Kors Antibes Mk4016 PXZuki
2) si $f$ est croissante, alors $f$ conserve l'ordre et on peut faire un raisonnement par récurrence.
si $u_n\le u_{n+1}$ alors $f(u_n)\le f(u_{n+1})$ car $f$ conserve l'ordre et donc $u_{n+1}\le u_{n+2}$.
si $u_n\ge u_{n+1}$ alors $f(u_n)\ge f(u_{n+1})$ car $f$ conserve l'ordre et donc $u_{n+1}\ge u_{n+2}$.
Attention: $f$ peut être croissante et $(u_n)$ décroissante.
Regarder ces exemples:
$u_{n+1}=\frac 12 u_n+1$ et $u_{n+1}=\frac {u_n}2+\frac 1 {u_n}$ -
Si la suite est arithmétique
Si la raison est positive, la suite est croissante.
Si la raison est négative, la suite est décroissante.
-
Si la suite est géométrique
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Soit $q$ la raison.
Si $q>1$, $(q^n)$ est croissante puis pour conclure tenir compte de $u_0$.
Si $0<q<1$, $(q^n)$ est Lunette Soleil Soleil De Lunette De Rectangulaire Rectangulaire De Lunette oeCxdBdécroissante puis pour conclure tenir compte de $u_0$.
si $q< 0$, la suite n'est ni croissante, ni décroissante.
Pratique mais pas indispensable:
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Corrigé en vidéo!
Exercices 1: Ecrire la propriété P(n) au rang n+1
Indication:
• Commence par écrire P(n+1) au brouillon
• Dans l'hérédité, pense à factoriser
• Commence par écrire P(n+1) au brouillon
• Dans l'hérédité, pense à factoriser
Soit \(P(n)\) la propriété définie pour tout entier \(n\ge 1\) par:
\[1\times 2+2\times 3+....+n\times (n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\]Soleil Blanc Pas Lunettes Polaroid No Bleu De Cher yvNnOmwP80
1) Écrire la propriété au rang 1, au rang 2.
2) Vérifier que la propriété est vraie au rang 1 et au rang 2.
3) Écrire la propriété au rang \(n+1\)
4) Démontrer que pour tout entier \(n\ge 1\), la propriété \(P(n)\) est vraie.
\[1\times 2+2\times 3+....+n\times (n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\]Soleil Blanc Pas Lunettes Polaroid No Bleu De Cher yvNnOmwP80
1) Écrire la propriété au rang 1, au rang 2.
2) Vérifier que la propriété est vraie au rang 1 et au rang 2.
3) Écrire la propriété au rang \(n+1\)
4) Démontrer que pour tout entier \(n\ge 1\), la propriété \(P(n)\) est vraie.
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Exercices 2:
Somme de 1+2+...n et raisonnement par récurrence - Somme des n premiers entiers
Indication:
• Commence par écrire P(n+1) au brouillon
• Dans l'hérédité, pense à factoriser
• Commence par écrire P(n+1) au brouillon
• Dans l'hérédité, pense à factoriser
Démontrer par récurrence que pour tout entier \(n\ge 1\)
\[1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\] Rim Gris Gradient Eomc France Polarizedcategory 3 Full Femmes WED9IYH2
\[1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\] Rim Gris Gradient Eomc France Polarizedcategory 3 Full Femmes WED9IYH2
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Exercices 3:
Somme des carrés 1²+2²+3²+...+n² et récurrence
Gris Miroité Argent Polarisé Ray 59 Rb3543 Chromance Ban Brillant Argenté CxedoB
Indication:
• Commence par écrire P(n+1) au brouillon
• Dans l'hérédité, pense à factoriser
• Commence par écrire P(n+1) au brouillon
• Dans l'hérédité, pense à factoriser
Démontrer que pour tout entier \(n\ge 1\)
\[1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
\[1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
Corrigé!
Exercices 4:
Somme des cubes 1³+2³+...+n³ et récurrence
Démontrer que pour tout entier \(n\ge 1\)
\[1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]
\[1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]
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Exercices 5: Démontrer par
récurrence
que 0 ≤un≤ 2 où un+1=√(un+1)
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Indication: dans l'hérédité:
Pour passer de un à un+1
il faut rajouter 1 puis prendre la racine
Pour passer de un à un+1
il faut rajouter 1 puis prendre la racine
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}\)
- Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(0<u_n<2\)
-
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\le u_{n+1}\)
Que peut-on déduire? Opticien Casa Matuvue Opticien Opticien Optique Matuvue Casa Optique Opticien Casa Casa Optique Matuvue EWHD29IeY
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Exercices 6:
récurrence
et sens de variation
Indication: dans l'hérédité, utilise les variations de
f:
Soit a, b appartenant à un intervalle I
Si f est croissante sur I et a ≤ b
alors f(a) ≤ f(b)
Autrement dit f conserve l'ordre sur I
Soit a, b appartenant à un intervalle I
Si f est croissante sur I et a ≤ b
alors f(a) ≤ f(b)
Autrement dit f conserve l'ordre sur I
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=10\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\frac 12 u_n+1\)
1) Calculer les 4 premiers termes de la suite.
2) Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de \((u_n)\).
3) Étudier les variations de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\frac 12 x+1\).
4) Démontrer la conjecture par récurrence.
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1) Calculer les 4 premiers termes de la suite.
2) Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de \((u_n)\).
3) Étudier les variations de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\frac 12 x+1\).
4) Démontrer la conjecture par récurrence.
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Exercices 7: Démontrer par
récurrence qu'une suite est croissante
- D'après question de Bac
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Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1=0,4$ et pour tout entier $n\ge 1$, $u_{n+1}=0,2 u_n+0,4$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
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Exercices 8: Démontrer par
récurrence qu'une suite est croissante
ou décroissante - sujet bac Pondichéry 2015 partie B
Soit la suite \((h_n)\) définie par \(h_0=80\) et pour tout entier naturel \(n\), \(h_{n+1}=0.75 h_n+30\).
1) Conjecturer les variations de \((h_n)\).
2) Démontrer par récurrence cette conjecture.
1) Conjecturer les variations de \((h_n)\).
2) Démontrer par récurrence cette conjecture.
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Exercices 9: Démontrer par
récurrence
que ..≤un≤... où un+1=f(un)
Utilise la même méthode que pour l'exercice 6
Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et pour tout entier naturel \(n\), \( \displaystyle u_{n+1}=\frac{u_n+3}{4u_n+4}\).
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]-1;+\infty[\) par \( \displaystyle f(x)=\frac{x+3}{4x+4}\).
1) Étudier les variations de \(f\).
2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(0\le u_n \le 1\).
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On considère la fonction \(f\) définie sur \(]-1;+\infty[\) par \( \displaystyle f(x)=\frac{x+3}{4x+4}\).
1) Étudier les variations de \(f\).
2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(0\le u_n \le 1\).
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Exercices 10: Démontrer par
récurrence
que ..≤un≤... où un+1=f(un)
Utilise la même méthode que pour l'exercice 6 et 7
Pas besoin de faire une récurrence, utilise la méthode classique:
• Calcule un+1-un
• puis trouve le signe de un+1-un Lunettes Mutualistes De Lunettes Opticiens SoleilLes qSzUpVM
• Calcule un+1-un
• puis trouve le signe de un+1-un Lunettes Mutualistes De Lunettes Opticiens SoleilLes qSzUpVM
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0\in ]0;1[\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=u_n(2-u_n)\).
Soit la fonction \(f\) définie sur [0;1] par \(f(x)=x(2-x)\).
Soit la fonction \(f\) définie sur [0;1] par \(f(x)=x(2-x)\).
- On a tracé la courbe de \(f\) ci-dessous:
Représenter les premiers termes de la suite.
Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de \((u_n)\)?
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- Étudier les variations de la fonction \(f\) définie sur [0;1] par \(f(x)=x(2-x)\).
- Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(0\le u_n\le 1\).
- Démontrer la conjecture du 1).
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Exercices 11: Démontrer par
récurrence
que ... est divisible - multiple
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(7^n-1\) est divisible par 6.
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Exercices 12: Démontrer par
récurrence
que ... est divisible - multiple - Les erreurs à éviter
Pour tout entier naturel \(n\), on considère les deux propriétés suivantes:
\(P_n: 10^n-1\) est divisible par 9 Lunettes Mutualistes De Lunettes Opticiens SoleilLes qSzUpVM \(Q_n: 10^n+1\) est divisible par 9
\(P_n: 10^n-1\) est divisible par 9 Lunettes Mutualistes De Lunettes Opticiens SoleilLes qSzUpVM \(Q_n: 10^n+1\) est divisible par 9
- Démontrer que si \(P_n\) est vraie alors \(P_{n+1}\) est vraie.
- Démontrer que si \(Q_n\) est vraie alors \(Q_{n+1}\) est vraie.
-
Un élève affirme: " Donc \(P_n\) et \(Q_n\) sont vraies pour tout entier naturel \(n\)".
Expliquer pourquoi il commet une erreur grave. - Démontrer que \(P_n\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).
- Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \(Q_n\) est fausse. On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.
Soit \(P(n)\) la propriété définie sur \(\mathbb{N}\) par:
\(4^n+1\) est divisible par 3. 1) Démontrer que si \(P(n)\) est vraie alors \(P(n+1)\) est vraie.
2) Que peut-on conclure?
\(4^n+1\) est divisible par 3. 1) Démontrer que si \(P(n)\) est vraie alors \(P(n+1)\) est vraie.
2) Que peut-on conclure?
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(3^{2n}-1\) est un multiple de 8.
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Exercices 15: Démontrer que
(un)'=nu'un-1
- dérivée de u^n, x^nBrille 4115 Ban Rb Ray Biker Spiegel 2027 Sonnenbrille Predator Herren 4005 Grau roeQCxdBW
Rappel: si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors
\[\left\{\begin{array}{l} u\times v \text{ est dérivable sur I}\\ \quad\quad \text{ et}\\ (u\times v)'=u'v+uv'\\ \end{array}\right.\]
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle I.
1) Démontrer par récurrence que pour tout entier \(n\ge 1\), \(f^n\) est dérivable sur I et que \((f^n)'=n f' f^{n-1}\).
2) Appliquer ce résultat à la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^n\) où \(n\) est un entier naturel non nul.
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle I.
1) Démontrer par récurrence que pour tout entier \(n\ge 1\), \(f^n\) est dérivable sur I et que \((f^n)'=n f' f^{n-1}\).
2) Appliquer ce résultat à la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^n\) où \(n\) est un entier naturel non nul.
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Exercices 16: Démontrer par
récurrence
une inégalité ...≥ ... -
Démontrer que pour tout entier \(n\ge 2\), \(5^n\ge 4^n+3^n\).
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Exercices 17: Démontrer par
récurrence
une inégalité ...≥ ...
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Démontrer que pour tout entier \(n\ge 4\), \(2^n\ge n^2\).
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Exercices 18: Démontrer par
récurrence
une inégalité Bernoulli
Dans l'hérédité, penser que:
A+B ≥ A lorsque B est positif
A+B ≥ A lorsque B est positif
\(x\) est un réel positif.
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \((1+x)^n\ge 1+nx\).
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \((1+x)^n\ge 1+nx\).
On place \(n\) points distincts sur un cercle, et \(n\ge 2\).
Démontrer que le nombre de segments que l'on peut tracer avec ces \(n\) points est \(\frac{n(n-1)}2\).
Démontrer que le nombre de segments que l'on peut tracer avec ces \(n\) points est \(\frac{n(n-1)}2\).
Démontrer par récurrence que la somme des angles dans un polygone non croisé vaut $(n-2)\pi$ radian.
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Exercices 21: Démontrer par
récurrence
une inégalité ...≥ ...
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=u_n+2n+5\).
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n>n^2\).
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n>n^2\).
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Exercices 22: Démontrer par
récurrence
une inégalité suite de Héron
Indication:
Soit a, b, c, d appartenant à un intervalle I
Si Soleil Guess Lunettes De 23 À €74Réduction 99 UMVpGzqSf est croissante sur I et a ≤ b ≤ c ≤ d
alors Pr 15pvAchetez Lunettes Prada Géométriques Black Chez Lenscrafters ywvmN0O8nf(a) ≤ f(b) ≤ f(c) ≤ f(d)
Autrement dit f conserve l'ordre sur I
Soit a, b, c, d appartenant à un intervalle I
Si Soleil Guess Lunettes De 23 À €74Réduction 99 UMVpGzqSf est croissante sur I et a ≤ b ≤ c ≤ d
alors Pr 15pvAchetez Lunettes Prada Géométriques Black Chez Lenscrafters ywvmN0O8nf(a) ≤ f(b) ≤ f(c) ≤ f(d)
Autrement dit f conserve l'ordre sur I
On considère la fonction définie sur \(]0;+\infty[\), par \( \displaystyle f(x)=\frac x 2 +\frac 1 x\).
- Étudier les variations de \(f\).
- On considère la suite définie par \(u_0=5\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=f(u_n)\).
a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(\sqrt 2\le u_{n+1} \le u_n \le 5\).
b) Que peut-on conclure?
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Exercices 23: Conjecturer, démontrer par
récurrence
l'expression de un en fonction de n - formule explicite
Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\sqrt{2+{u_n}^2}\).
1) Calculer les quatre premiers termes de la suite.
2) Conjecturer l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
3) Démontrer cette conjecture.
1) Calculer les quatre premiers termes de la suite.
2) Conjecturer l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
3) Démontrer cette conjecture.
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Exercices 24: Démontrer par
récurrence
un=... - formule explicite
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On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\frac 12 u_n+3\).
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=\frac {-5}{2^n}+6\).
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=\frac {-5}{2^n}+6\).
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Exercices 25: Ecrire un
Algorithme
pour calculer la somme d'une suite
Soit la suite $u$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n+1+n$.
Écrire un algorithme pour calculer la somme $S_n=u_0+u_1+...+u_n$ en utilisant la boucle "Tant que ...".
Écrire un algorithme pour calculer la somme $S_n=u_0+u_1+...+u_n$ en utilisant la boucle "Tant que ...".
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Exercices 26: Sens de variation d'une suite par 2 méthodes - Exercice très classique
On considère la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $ \displaystyle u_{n+1}=\frac {u_n}{u_n+2}$.
1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$.
2) En déduire le sens de variation de $(u_n)$.
3) On considère la fonction $f$ définie sur $]-2;+\infty[$ par $ \displaystyle f(x)=\frac{x}{x+2}$.
a) Étudier les variations de $f$.
b) Refaire la question 2) par une autre méthode.
1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$.
2) En déduire le sens de variation de $(u_n)$.
3) On considère la fonction $f$ définie sur $]-2;+\infty[$ par $ \displaystyle f(x)=\frac{x}{x+2}$.
a) Étudier les variations de $f$.
b) Refaire la question 2) par une autre méthode.
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Exercices 27:
Suites imbriquées - Algorithmique
On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par:
$u_0=1$ et $v_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n+4v_n$ et $v_{n+1}=2u_n+3v_n$.
On cherche $u_n$ et $v_n$ qui soient tous les deux supérieurs à 1000.
Écrire un algorithme qui affiche le premier couple $(u_n;v_n)$ qui vérifie cette condition, en
utilisant une boucle Tant Que.
$u_0=1$ et $v_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n+4v_n$ et $v_{n+1}=2u_n+3v_n$.
On cherche $u_n$ et $v_n$ qui soient tous les deux supérieurs à 1000.
Écrire un algorithme qui affiche le premier couple $(u_n;v_n)$ qui vérifie cette condition, en
utilisant une boucle Tant Que.
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Exercices 28:
Calculer les termes d'une suite à l'aide d'un tableur
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Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=2u_n+5$.
A l'aide d'un tableur, on obtient les valeurs des premiers termes de la suite $(u_n)$.
Quelle formule, étirée vers le bas, peut-on écrire dans la cellule $\rm A3$ pour obtenir les
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Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $v_{n+1}=2n v_n+5$.Lunettes Mutualistes De Lunettes Opticiens SoleilLes qSzUpVM
A l'aide d'un tableur, déterminer les premiers termes de la suite $(v_n)$.
termes successifs de la suite $(u_n)$?
Corrigé en vidéo
Exercices 29:
Suite et algorithmique - Piège très Classique
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\left(\frac {n+1}{2n+4}\right)u_n$.
On admet que la limite de la suite $(u_n)$ vaut 0.
Compléter l’algorithme ci-dessous, afin qu’il affiche la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $u_n \leqslant 10^{-5}$.
On admet que la limite de la suite $(u_n)$ vaut 0.
Compléter l’algorithme ci-dessous, afin qu’il affiche la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $u_n \leqslant 10^{-5}$.
$n ~\leftarrow ~0^{\scriptsize \strut}$
$U \,\leftarrow ~1$
Tant que $\dots$
$n ~\leftarrow ~\dots_{\scriptsize \strut}$
$U \,\leftarrow ~\dots_{\scriptsize \strut}$
Fin Tant que
Afficher $n_{\scriptsize \strut}$
$U \,\leftarrow ~1$
Tant que $\dots$
$n ~\leftarrow ~\dots_{\scriptsize \strut}$
$U \,\leftarrow ~\dots_{\scriptsize \strut}$
Fin Tant que
Afficher $n_{\scriptsize \strut}$
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Exercices 30:
Raisonnement par récurrence - Erreur très Classique - Surtout à ne pas faire !
Trouver l'erreur dans le raisonnement suivant:
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Soit $\mathcal P_n$ la propriété $M^n = PD^nP^{-1}$.
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Soit $\mathcal P_n$ la propriété $M^n = PD^nP^{-1}$.
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$P^{-1}MP = D \Leftrightarrow PP^{-1}MP=PD \Leftrightarrow MP=PD \Leftrightarrow MPP^{-1} = PDP^{-1}
\Leftrightarrow M = PDP^{-1}$. Donc la propriété $\mathcal P_n$ est vraie au rang 1. -
On suppose que pour tout entier $p \geqslant 1$ la propriété est vraie, c'est-à-dire que $M^p = PD^p P^{-1}$.
D'après l'hypothèse de récurrence $M^p = PD^p P^{-1}$ et on sait que $M=PDP^{-1}$ donc:
$M^{p+1}= M \times M^p = PDP^{-1}\times PD^{p}P^{-1}= PDP^{-1}PD^p P^{-1} = PDD^pP^{-1}= PD^{p+1}P^{-1}$.
Donc la propriété est vraie au rang $p+1$. - La propriété est vraie au rang 1 ; elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 1$ donc d'après le principe de récurrence la propriété est vraie pour tout $n \geqslant 1$.
Raisonnement par récurrence : Exercices
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